圣彼得堡悖论

维基百科上对圣彼得堡悖论的描述是：“1730年代，数学家丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）的堂兄尼古拉·伯努利提出一个谜题：掷硬币，若第一次掷出正面，你就赚1元。若第一次掷出反面，那就要再掷一次，若第二次掷的是正面，你便赚2元。若第二次掷出反面，那就要掷第三次，若第三次掷的是正面，你便赚2*2元……如此类推，即可能掷一次游戏便结束，也可能反复掷没完没了。问题是，你最多肯付多少钱参加这个游戏？”

有一位打德州的牌友H将圣彼得堡悖论改造成了打牌悖论，表述如下：假如赌场新推出一个游戏，你跟庄家每人发一张牌比大小，如果你大，则你得到1块钱，这手牌结束。

如果庄大，继续发第二次；这次如果你大，得到2块钱，这手牌结束；

如果还是庄大，继续发第三次；如果你大，得到4块钱，这手牌结束；如果庄大，继续发第四次⋯⋯

以此类推，每次你可能得到的钱都比上次翻倍。假设牌永远发不完。 

问：你愿意花多少钱去玩这样一手牌？

计算：这手牌的EV = 1*(1/2) + 2*(1/4) + 4*(1/8) + ... = 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... = 正无穷

不考虑资金管理，只考虑+EV，我们应该愿意拿出正无穷的钱，或者我们所有的钱玩这么一手牌。

但是，无论怎么玩，你得到的只会是一个固定的数，为了这个固定的数，你怎么会愿意拿出正无穷的钱去玩呢？

打牌悖论所表达的与圣彼得堡悖论有一定的差别，我们仔细看会发现，打牌悖论和圣彼得堡悖论虽然描述方式不同，但前半部份的设定在数学（逻辑）上是等价的。差别在于后半部分，且看打牌悖论：“无论怎么玩，你得到的只会是一个固定的数，为了这个固定的数，你怎么会愿意拿出正无穷的钱去玩呢？”

问题就在这个地方：题设中的收益无穷大是一个理论上的结果，穷尽了一切可能的情况，包括概率无穷小事件，而无穷小的出现就引出了一个很严峻的问题——集合论的连续统问题。我会在下文具体说明这个问题在逻辑上其实等同于“芝诺悖论”，而芝诺悖论的实质是无穷集合问题。

而“无论怎么玩，你得到的只会是一个固定的数字”并不是一个逻辑上的必然结论。因为概率无穷小事件并不等于不会出现，无穷小并不是没有，所以，即使在现实操作中它几乎不可能出现，但你不能说它必然不会出现。当这个概率无穷小事件发生的时候，其收益是无穷大的，因此在逻辑上收益有可能是一个无穷大值。但是在现实操作中，要实现这个收益无穷大，不仅意味着概率无穷小事件的出现，还意味着这次玩牌进行了无限多轮次，永无终结。理论上当然有可能，但是现实中游戏一定会中止，而概率无穷小事件在现实生活这种小样本情况下，几乎等同于不会出现。

所以这个结论暗含着常识中的时间限制因素，写这个打牌悖论的牌友H反驳另一个牌友E质疑的时候所阐述的理由就更清楚了：  “游戏虽然会在有限手结束，但是计算EV却必须考虑无限轮发牌。”

而牌友E恰恰指出了问题的本质：“ 但是，无论怎么玩，你得到的只会是一个固定的数，为了这个固定的数，你怎么会愿意拿出正无穷的钱去玩呢？——这个问题问的有问题，得到固定的数，意味着游戏结束，说明这个游戏是有限手的。而正无穷的钱，意味着你始终没有赢，游戏在无限进行中。两者不能放在一起说的吧” 。

“游戏会在有限手结束”，其实只是一个经验性的结论，理论上完全有可能永远不结束。

用一个经验性的结论无法构成对一个以“无穷小和无穷大为基础元素的”抽象数学结论的反驳，并不存在逻辑悖论。

结论，打牌悖论是一个因前后使用概念不一致而导致的悖论（类似于语用悖论），前一个是逻辑结论，后一个严格意义上其实是一个经验结论。

稍微展开说几句： 

在圣彼得堡悖论中，游戏中每一个可能结果的期望值是固定的：1／2，但游戏的期望值是所有可能结果的期望值之总和，这个是无穷大的，但是前提是该游戏是一个回合无穷多的游戏（打牌悖论也说了，牌永远发不完），试看火花给出的公式：

EV = 1*(1/2) + 2*(1/4) + 4*(1/8) + ... = 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... = +∞

当然，真正的EV还需要考虑减去成本，再看火花后来在跟maomaobiao讨论中列出的考虑成本的EV

EV = （1-x）*(1/2) + （2-x）*(1/4) + （4-x）*(1/8) + ...

    = 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... - (1/2 + 1/4 + 1/8 + ...)x

    = 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... - x

    = 正无穷 - x

    = 正无穷

我们换一个思路来看这个计算式：假如游戏无论进行了多少轮次，我们能得到的奖金都是固定的1，那此种情况下：

EV=1/2+1/4+1/8+⋯－x=1-x，此时EV不是无穷大的，而是一个固定数值。在其中我们看到了芝诺飞矢不动悖论的算式。

由此可以看出，打牌悖论（圣彼得堡悖论）中的无穷大结果是由于奖金＝2n次方这个前提导致的，n为游戏进行的轮次。也就是说，实质上并不是因为轮次无限多导致了期望值无限大，而是“奖金在无限多轮次后会变得无穷大”导致了期望值无穷大，但这两个无穷大并不相等。

因为，EV是所有可能情况下期望的加权平均，那么在概率无穷小情况下出现的无穷大奖金是各种期望中的极值，它一定大于EV，于是就出现了一个无穷大＞另一个无穷大的情况。⋯⋯集合论中很多熟悉的概念开始出现了（想起康托尔了）⋯⋯就此打住，再说下去就没完没了，也超出我的能力范围了。 

牌友H反驳牌友M的理由是：“EV之所以叫EV，因为它是Expected Value，而不是对已经发生的事实的统计⋯⋯若你让n取一个固定值，那么那些1/2，1/4，1/8之类的概率就不应该用”。

H力图说明一个问题：游戏的轮次是有限的，其收益是对已经发生的事实的统计，而期望则包含无穷多中可能性的计算；在有限的样本下，事件发生的实际状况与无穷样本下的概率是不等同的。我觉得H在此处已经直指圣彼得堡悖论的实质。

1 先看看圣彼得堡悖论的本来面目：

据我对圣彼得堡悖论的了解，其悖论的产生正是源于理论期望值与实际投掷多次得到奖金的数额完全不符合，因而导致即使人们在理论上知道其期望无穷大，但仍然不会去支付成本参加这样的游戏，理性收益模型和实际决策产生了不一致，因此才会出现用调整决策模型中的效用计算方式来消除悖论的方法。

从这个悖论诞生至今已经200多年，消除悖论的方法总结起来大约有三种——边际效用递减论、风险厌恶论和效用上限论。这三个解决方法各有各的缺陷，大家稍稍花点时间查一下相关资料很快就能明白，里面也没有太复杂的数学。

特别提一下“效用上限论”，其实就是牌友H所说的“虽然理论上EV正无穷，这个游戏的真相是，它在现实中绝对不会存在！因为无论哪一个赌场或个人提出这样一个游戏，他一定是骗人的，因为他不可能付出正无穷的钱⋯⋯让比尔盖茨做东，期望值才是可怜的18块钱，难怪人们不愿意玩。”

仔细思考这个理论，我们会发现： “在现实中不会存在”，是因为资金量不会无穷大，但为什么需要资金量无穷大才能使游戏成立呢？因为得出资金量无穷大的正是前面H所写的那个EV公式，也就是说，否认这个游戏的可能性正是基于承认其理论上的期望值是无穷大的。这个理论完全没有反驳理论上期望值计算的正确性，只是从实际的支付能力角度说明了即使产生无穷大的收益由于没人能兑现，所以你赢的钱到不了手。但如果都是以实际操作层面的可能性和可行性作为决策的依据，那么连EV无穷大这样的结论都无法得出，因为此结论正是基于游戏轮次可以无穷多的假设。而实际上生命有限，游戏焉能无限？如果游戏可以无限，那为什么考虑支付能力的时候又以一个具体／有限时间范畴里的情况作为依据的呢？这个理论，根本上来说以其否定的理论为前提得出对这个理论的反驳，恰恰是一个标准意义上的悖论。这个悖论的产生是因为使用的概念（在这个命题中具体表现为使用的假设条件）不一致，也属于“语用悖论”，以一个语用悖论来消除悖论当然是不可能的。

2 我理解的圣彼得堡悖论的实质：理论上期望值是无穷大的，这个没什么错误，但实际操作中的结果是有限多次试验的均值，亦即样本均值，样本均值随着样本容量的增加，以概率收敛于其期望值。　

实际试验的样本均值随着实验次数的增加而变大。在大量实验以后，其实验均值近似于logn/log2，可见当n趋向无穷大的时候，样本均值也趋向无穷大。10的6次方次实验的平均值约为6/0.301=19.9，当样本均值达到1 000时，实验次数为10的332次方，这时候如果每次试验（游戏）都要支付成本，那么我们需要支付的成本已经高达x＊10的332次方⋯⋯虽然随着试验次数的不断趋向无穷大，我们最终是收益无穷大的，但在实验次数趋向无穷大的时候，收益趋向于无穷大的速度慢多了。显而易见，任何一个人都不会为了这个“要玩无穷多次才能得到无穷大收益，即使玩了非常非常多次仍然大概率大额度亏钱”的游戏买单。

3 结论：圣彼得堡悖论并非一个严格意义上的逻辑悖论：逻辑悖论有三种——语用悖论、语义悖论和语形悖论（这个是各位理工科同学最熟悉的数学悖论），在此没有篇幅展开讨论每一种悖论的差别。

它更多的是关于随机问题的理解和计算，是因无穷大和无穷小之潜在性和实在性的差别而导致的思维成果与现实世界的不一致，是广义上所谓的矛盾，但并非狭义上的逻辑悖论。唉，无穷是一个非常美妙的问题，既是数学问题，也是哲学问题，我很想深入研究一下，可惜时间和资质都有限⋯⋯

认知统一体（我们每个具体的人或者人类作为一个智慧生物整体都算是认知统一体）存续的有限性也许正是无限问题如此深奥难解的原因所在吧。

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